Име села Сутвара, настало је по цркви Свете Варваре која се налази на узвишењу изнад старог села. За ову цркву поп Саво Накићеновић записује: ''Црква је као и она у Дубу ограђена у XVI вијеку, те од тада и њена околина добива име Сутвара...''
Нема прецизнијих података када је црква изграђена. У њеној непосредној близини налази се црква Светог Ђорђа и гробље које је заједничко за села Дуб и Сутвару.
У данашњем облику црква је од 1847.године. У Шематизму епархије Бококоторске за ову цркву се наводи: До г. 1846. постојаше у овој парохији мала трошна Црква посвећена Светој Варвари, о којој се не зна када је саграђена. Житељи Сутваре и Дуба (257 душа) побуђени побожним чувством, поруше речене године поменуту црквицу, те на пространијем темељу подигоше прекрасни нови Храм, који следће 1847.г.посвећен би на славу исте Великомученице. Има дужине без олтара 26, ширине 9, висине 6 аршина и једну ногу. Краси је вјешто саграђено труло илити куба са 4 прозора. Погледај брате православни Србине, на мали горњи број житеља, који још тврдим жуљевима својих руку израђују себи насушни хљеб, пак сравни лијепу зграду ову и трошак око ње, те ћеш са миљењем и утјехом признати и увјерити се, да чиста љубав к вјери, ревносна слога и са помоћу божјом започето побожно дјело, сваку противност надјачати може...''
Црква је обновљена 1847.године, највише заслугом Конта Ђура Вукшића.
О приложницима и прилозима за овај храм, у Шематизму Бококоторско-дубровачко-спичанске епархије налазимо ове записе:
1892.
Милица М. Вукшић, кандило сребрно, форинти 20
1901.
Висока Ц. К. Влада кр. 100
1902.
Ил. Радмановић путир и дискос
1909.
Маре Н. Радонић из Кавча: канђело од чистог сребра вр. 75 кр.
Црква није страдала током Другог свјетског рата, нити је девастирана по његовом окончању. Оштећена је у земљотресу 1979.године, али се њеном обновом која је текла споро ипак успјела сачувати од пропадања, тако да су реконструисани стари иконостас и иконе ове цркве.
Посједује баладур (простор за хор), а дрвени иконостас са иконама је осликао Никола Аспиоти са Крфа. Свод цркве је фрескописан 2013. године, а мало освећењe обновљеног храма обавио је Митрополит црногорско приморски Амфилохије 08.09.2013.године, када је у овом храму служио Свету архијерејску литургију.